虚数の情緒

　子供に算数を教える。やってみたことはないのだが、ぼくのような門外漢がやってみるとすれば、この仕事には「やんちゃ」を感じさせるものがあって、何か誘われるものがある。たとえば、古代アテネのまぶしい日差しや「読み書き・そろばん」に励む寺子屋の子供たちの弾む声が蘇ってくるような、そんな予想的な印象だ。
　子供と数学というと、日本では水道方式から公文式の算数ドリルまで、数々の算術指南が試みられてきて、それなりの成果をあげてきた。なんといっても、読み書き、かつ、そろばん、であって、算術がなければ何も始まらない。実際にも、どこの国においても算数や数学は、国語とならぶ学習の基本であることはまちがいがない。第799夜でのべたように、ソクラテス＝プラトン＝アリストテレスに一貫した「マテーシスはアナムネーシスである」というテーゼは「学習は想起である」という意味であるが、そのマテーシスこそは万国共通のマテマティクス（数学）の語源であった。ものを数えて、それをアタマの中に配置できなければ、記憶だってままならない。
　だから幼児のときから算数のしくみを手や目がおぼえることは、当然、記憶や学習の基本になっているのだが、しかしとはいえ、その学習教授法がいかにたくみであるからといって、それで算数・数学の本質が子供に伝えられたかどうかといえば、それは別問題だ。計算が上手になった子供が「数学の心」を知ったということにはならない。
　ぼくの拙い体験例はおよそ一般的ではないけれど、ぼく自身が数学を理解したとおもえたのは（つまりはある程度は「ユーレカ！」とおもえたのは）、最初が高校時代に割木とパチンコ玉で四則演算器を部屋いっぱいに悪戦苦闘しながら作っていたときで、その次が大学時代にフーリエ級数にとりくんだとき、そしてその次がヒルベルト問題とゲーデル数に刃向かっていたときだったから、かなり高次な体験を通過したときだった。それまでは「数学の心」なんてとうていやってこなかった。しかしこれでは、子供時代の数学理解とはいいがたい。
　では、そういう数学体験を子供時代に体感できることはまったく不可能なのかといえば、きっとそんなことはない。子供の身になってみなければわからないけれど、おそらくは数学の醍醐味を高次なままに体験できる方法はあるはずだ。そういう「やんちゃ」な方法があるはずだ。ぼくはずっとそういう気がしていた。今夜はそういう可能性のひとつとして、めずらしい一冊を案内したい。

　本書のタイトルは大胆不敵にも『虚数の情緒』という。すぐさま岡潔をおもわせるセンスが伝わってくるが、「虚数」と「情緒」という二つの言葉がぴたりと並んでいるのが、いかにも大胆だ。虚数は英語ではイマジナリー・ナンバーというから、そこだけをとらえればなんとなくフィーリングはあいそうだが、ただし、このままではやはり不可解である。しかも「中学生からの全方位独学法」というサブタイトルがついている。おまけにそれを語るにあたって、なんと９９８ページを費やしている。法外な大冊なのだ。
　けれども著者の狙いは鮮明である。中学生に虚数を教えるのがひとつの目的になっていて、その教え方が全方位だという。そう言ってはばからない。どういうふうに全方位なのかということはこのあと少しだけ紹介するが（数式が多い本なのでここでは考え方だけを紹介するが）、その前に、この著者が本気で数学の醍醐味を中学生レベルに伝えようとしていることを保証しておく。
　著者は『オイラーの贈物』（海鳴社）で評判をとった。１９９３年のことだった。京都大学の西村孟名誉教授から文系教養科目として数学を講義してほしいと頼まれ、１年にわたってオイラーの公式だけを教えようと決意した。そのおり試みた講義録からの成果の書物版が『オイラーの贈物』で、徹底してオイラーが用いた複素数（とりわけ虚数の効力そのもの）の意味を理解させることに専心している。次に『素数夜曲』（海鳴社）を書いた。こちらは整数論の世界をたどってみたもので、やはり複素数の理解に初心者を導くためのものになっている。
　この２冊とも、持ち前の数学愛、説明のうまさ、ハコビの独得の工夫が目立っていて、類書をよせつけないものがあったのだが、そこに「全方位独学法」といった"計画"や"野心"が、ようするに「やんちゃ」がひそんでいるとは見えなかった。あくまで高等数学学習のためのユニークな攻略本だったのである。
　ところが本書は、かなりちがっていた。虚数の理解についてはもちろん多くのページを割いてはいるのだが、それ以上に「学ぶ」という意味を解き、とくに科学的で数学的な思考のパフォーマンスをもつことについて独自の見方を導入した。そこがおもしろく、かつまた新たな可能性を感じさせたのだ。
　あらかじめ正直な感想をいっておくと、数学解説を除いた箇所の説明は必ずしも上手なわけではない。複素数数学の説明にくらべると粗密がありすぎて、科学思考の本質に言及できてはいないところも少なくない。それなのに全体としては、この記述方法が大きな成果を発揮する可能性をもっていると感じられる。数学がもともと秘めている世界観や感情を、数学本来の「考え方」の伝達に沿って縦横無尽に説き抜こうとした著者の信念が全ページにわたって雄弁を貫いたからだろう。
　ではともかくは、そのサワリを圧縮して紹介しておく。

　著者は数学を学ぶにはまず「言葉」を学びなさいという。言葉こそが歴史であって文化であって、人格であって君自身なんだという。これはこの通りだ。
　ついで、青年は「易きにつくな」、いたずらな小我を破って「守・破・離」をまっとうせよという。それには絶対に「読書」が必要で、それも針の穴から隣人を覗き見てその全人格を了解するような読書をしなければならないという。そのおりに「年表」のおもしろさを知りなさい、自分で年表を作成してみるといいとも奨める。なぜ年表を重視するかというと、科学も技術も積み重ねと発見と意外性の飛躍からなっていて、それを知るには年表の中に入っていくのがいいという理由かららしい。なかなか思い切った見解だが、ぼくはこれも大賛成だ。それにしても数学を学ぶにあたって、「守・破・離」を自覚し、読書への覚悟と年表の重視をのべるあたり、世の中のどんな数学書にもまったく見られない指南になっている。ほぼ同じ方針をもっているのは、わがＩＳＩＳ編集学校だけだろう。
　こうして著者は、アインシュタインの次の言葉を引く、「この世界について最も理解できないことは、それが理解できるということである」。
　この言葉で著者が何を言いたいかというと、「数式はその作者より賢い」のだから、そして、数学の本質は「推論の醍醐味」にあるのだから、数学を学ぶにあたっては数式のたびに新たな推論のステージを体感できるのだということを知りなさい。それにはたとえば、ケプラーの方式における質量が「ｍ」となっている代数的な意味を知り、そもそも推論に帰納法と演繹法があること、すなわち特殊から普遍を導くこともあれば、普遍から特殊を導くことも、両方とも可能なんだということを知りなさい、そういう理解を恐れない態度をもちなさいということである。

　ここまですこぶる快調、なるほど、なるほどと思わせる。が、全方位独学法の真骨頂はここからで、次に著者が持ち出すのは理科系と文科系に世の中を分けるな、二分法はそれなりの効用をもつけれど、和魂洋才とも言われるとおり、互いに異なる知識や才能が組み合わさることのほうがもっと重要で、寺田寅彦や中谷宇吉郎や岡潔が、またロバート・ゴダード（ロケットの父）やリチャード・ファインマン（物理学者）が、あるいはウィントン・マルサリス（ジャズトランペッター）が、そうであったように、相違を分けるのだけでなく、どこかでそれらを「丸呑み」することがさらに重要だとのべる。
　ことに「文化にはグローバルスタンダードなんてありえない」とのべ、その説明に中学生を相手にしていることなどものかは、あえて本居宣長が「漢意」（からごころ）に対するに「古意」（いにしえごころ）の方法をかざしたことを例にあげているところなど、まさに著者の独壇場となってくる。
　これで驚いてはいけない。本書はこのあと「知性の誕生」を解説するために、宇宙マイクロ波背景輻射から星の誕生をへて万有引力の法則を説明し、マグマオーシャン期の地球からどのように高分子のタンパク質としての生命が生まれ、それがＤＮＡなどによって複写できるようになったかを手短に綴り、さらにはそこからアウストラピテクスなどをへて意識と言葉をもった人類が出現するまでをざっと指摘すると、そこについには文字と数字と、閏年をふくむ暦と６０進法などの桁の工夫と円周分割などの度数法とが生まれてきたことを、一気呵成に語るのだ。
　こういう説明はめずらしいわけではない。ずっと以前にはＨ・Ｇ・ウェルズが試み、ランスロット・ホグベンの『数学の世界』やジョルジュ・イフラーの『数字の歴史』が洋の東西をまたいで海図のように案内し、また、カール・セーガンが『エデンの恐竜』などで何度かカレンダー化したり、もうすこし数学思想的にはレイモンド・ワイルダーが夙に『数学の文化人類学』で示したことでもあった。ものごとの発生から物語るというやりかただ。
　しかし、本書のような"腕力"はやっぱりめずらしい。なぜならこの超高速１５０億年史をもって、そこから著者は数学が「万古不変の宇宙語」であって、それを前にしたわれわれ自身が歴史そのものであることを導こうとするからだ。それに、ものごとの発生を物語る書物には、ほとんどテクニカル・エクササイズなんて入らない。ところが本書はその数学エクササイズのためにこそ、宇宙と生命と知性の発端を告示してみせたのだ。

　だいたい雰囲気がつかめただろうか。「全方位独学法」といえばその通りだが､これは中学生のためというより、著者自身の独自独学独歩が全面開示されているといったほうがいいだろう。
　ともかくも本書はこれで第Ⅰ部をおえ、第Ⅱ部は自然数の説明から虚数・指数の解説にいたる「叩け電卓！掴め数学！」へ、さらに第Ⅲ部「振子の科学」へと進む。
　第Ⅱ部が複素数数学の基本を徹底して解説しているところなので、本書の中核はここにあたるのだが、最初に書いておいたように、数式が配列され、そこに哲学や科学のエッセンスが絶妙のタイミングで挿入されているので（ここがエクササイズの本番にあたる）、ここでは省く。案内のしようがない。ただし、数学教育に関心をもっている向きの諸君の参考のために、どういうエクササイズの手順になっているかをごくおおざっぱに項目的にあげておく。
　最初は自然数の把握である。素数から記数法に入って、「数の原子論」がどういうものかを把握する。ついで数の代わりになぜ「符号」を用いるのかが説明される。ただしふつうの解説ではない。相似の意味、ピタゴラスの定理の意味、バビロニアン・テーブルの意味、加えてフェルマー・ワイルスの定理の意味まで持ち出される。
　次に四則演算の法則、分数の加減乗除、電卓で分数計算ができないことへの注意、二進法の意義の説明などをへて、デカルトの功績から無理数の解説を通過して、いよいよ虚数と複素数の解明に入ってオイラーの公式に抜け出ていく。ここは著者得意のところであって、前著の『素数夜曲』よりもなお闊達だ。この途中に本書のタイトルとなった「虚数の情緒」についての説明も入る。著者はこう言うのだ、「西洋の一次元的な見方を数直線に譬えれば、東洋のそれは複素平面、大小を超越した虚数の世界にある、といえよう。虚数の情緒とは、この意味なのである」。

　第Ⅲ部は「振子の科学」とあるように、とうてい数学入門書とはおもえない内容になっている。奥の奥ではオイラーの公式が動いているのだが、そこまで説明している数学書や科学書はめったにない。
　話は振子をめぐるガリレオの力学を説明することからはじまるものの、そのうち重力加速度の話から角運動量保存の話になって、いつのまにか場の量子論へ、相対性理論へと話題が移っていく。なんとローレンツ変換式もシュレディンガーの波動方程式も出てくる。そうかとおもうと、野球のバッティングの合理の追求に耽ったりもする（野茂の話も出てくる）。途中にはエネルギーの法則も気体分子運動論も出てくる。
　ディラックやトモナガの量子力学の教科書を読んでいる気分になりかねないが、著者の解説ぶりは数式の解き方をふくめてまことにエレガントで、おそらくは理論物理学者になっていたら、とっくに何かの"発見"をしていただろうとおもわせた。
　最後は「全方位」というより、最新科学理論の突端にまで進む。ここはさすがに舌足らずになっているのだが、いまをときめく量子電磁力学（ＱＥＤ）から量子脳力学（ＱＢＤ）におよんで、かつての梅沢博臣や高橋康の「場の脳理論」に言及する。おそらく大半の読者はちんぷんかんぷんだろうけれど、著者は平気の平左であるようだ。
　まあ、とにもかくにもこういう大冊なのである。こういう著者が元気に自説を貫いていることに快哉を叫びたい。ぼくもいつかは子供にこんな話をしてみたい。